解析几何二面角公式_高考几何二面角

1.二面角的做法

2.高考数学问题，如何用空间向量求立体几何中的二面角的正切值

3.二面角的表示方法

4.关于高中数学二面角

5.（数学）空间几何题，求二面角

6.什么是二面角?

7.用几何法求二面角的步骤

第一：作线

PA垂直平面ABCD,AB=2，PC与平面ABCD成45°角，EF分别为PA，PB的中点，求异面直线DE与AF所成角的大小的余切值

比如这题，看似无交点的两条直线的夹角可以做平行线进行解决：在AB的延长线上作一点G，使得AG=EF=1，则有GE平行于AF，则有直线AE与DE的夹角为：∠GED。AE为DE在平面ABP上的投影，则有COS∠GED=COS∠AED*COS∠AEG=根号3/3*根号2/2=根号6/6。

注：COS∠GED=COS∠AED*COS∠AEG这个公式在解决二面角的问题上面有奇效。

第一：作面

AB垂直平面BCD，BD垂直CD，若AB=BC=2BD，求二面角B-AC-D的正弦值。

过D作与直线AC垂直的平面DEF，交AC于E，BC于F。

AC垂直平面CEF，所以DF垂直AC，AB垂直平面BDC，所以DF垂直AB。

所以DF垂直平面ABC，所以DF垂直BC。则△BDC中存在：BD*CD=DF*BC

设BD=1，则AB=BC=2。所以CD=根号3。所以DF=根号3/2。

同理在△ADC中推理可得：根号30/4

则：二面角B-AC-D的正弦值=sin角DEF=DF/DE=根号10/5。

注：作与二面角棱垂直的平面式关键。

第三：作投影

还是第二题，我们换种解法。

过D作DE垂直BC。DE垂直BC，AB垂直DE。所以DE垂直平面ABC。

所以△ADC在平面ABC上的投影为△AEC。

利用公式：cosD-AC-E=S△AEC/S△ADC=AD*DC/（AB*CE）

只需要求出线长即可得到cosD-AC-E的值，再转换成正弦值即可。

注：cosD-AC-E=S△AEC/S△ADC是关键，这个方法做选择题和填空题的效果最好。但缺点是不一定可以用。

第四：作坐标

也就是向量，向量方法也很快。做填空选择效果也很好。

二面角的做法

在立体几何运算中，很多人都会觉得太过复杂，难以达到最简单的求解方法，最后总是出现错误，而且现在高考中几何立体运算也是必考的重点，尤其是二面角，那么求二面角的方法是什么呢?

1、垂面法——和棱垂直的平面，并且垂面和二面角相交的线所组成的角，也就是二面角和平面角。

2、定义法——在棱上任意取一点，并且在两个平面中都做出棱上A点的垂线，有的时候这条垂线可以在两个不同的平面内做垂线，再在其中一个垂足和垂线之间的平行线，也可以求出二面角。

3、向量法——把两个半平面的法向量求出，主要是通过夹角公式的方法求得。所求的二面角也就是这个夹角或者是补角。

4、异面直线距离法——将二面角假设为C-AB-D，那么其中的AC和BD就是异面之线AC⊥AB，而AB也就是异面直线中AC和BD的公垂线，根据AB,CD,AC,BD的值，就可以计算出二面角。

求二面角的方法有很多，比如异面之线距离法，向量法，定义法和垂面法都是非常好的求二面角的方法，要灵活的运用这些方法，简便的计算出最终的结果，才是最关键的。

高考数学问题，如何用空间向量求立体几何中的二面角的正切值

二面角是高考常考的一类问题，几乎每年的理科卷都会涉及到二面角的求法。而有些同学在解决这块内容是往往无从下手，今天把常见方法进行整理，希望可以给你们带来帮助。

一、定义法

是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法。

二、三垂线法

是指利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造 出二面角的平面角 ，继而求出平面角的方法。

三、垂面法

是指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法。

四、面积射影法

所谓面积射影法 ，就是根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角。

五、法向量法

法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成 的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。（如何判断相等还是互补的问题，将在近期公布）

六、垂线法

是指先利用待定系数法确定垂足，再利用公式求出二面角的大小。

二面角的表示方法

答：1、如果知道这两个平面的法向量，就用这两个平面的法向量的点积除以两个法向量的模的积；得出两个法向量的余弦值。这个余弦值是两个平面角的负余弦值；如果平面角为a，这个余弦值就是cos（180D-a）=-cosa。sina=√(1-cos^2a)(是正数-算数根)；正切值：tana=sina/-cosa。

2、在不知道平面的法向量的条件，下找出两个平面的每一个平面的任意两条边（同一平面内的两条边只要是不相互垂直就可以）；做出每条边的向量，同一平面内的两条向量的叉积就是这个平面的法向量（注意如果无法判断两面角是锐角还是钝角，按照右手系使法向量指向平面角的内部方向）；然后求两个法向量的余弦值；其它同1。

关于高中数学二面角

二面角一般用二面角的两个半平面及二面角的棱来表示，如二面角α－l－β，或者A－BC－D(这个就表示是由平面ABC与平面BCD所构成的二面角)。

平面角以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角。互相垂直的平面：相交成直角的两个平面叫做互相垂直的平面。

扩展资料：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。

二面角也可以看作是从一条直线出发的一个半平面绕着这条直线旋转，它的最初位置和最终位置组成的图形。

二面角的平面角的大小，与其顶点在棱上的位置无关。如果两个二面角能够完全重合，则说它们是相等的．如果两个二面角的平面角相等，那么这两个二面角相等。反之，相等二面角的平面角相等。

百度百科——二面角

（数学）空间几何题，求二面角

定义　　平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面） 二面角的平面角　　以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 [编辑本段]二面角的大小范围　　0≤θ≤π

相交时 0＜θ＜π，共面时 θ＝π或0 二面角的求法　　作二面角的平面角的常用方法有六种：

1.定义法

2.垂面法

3.射影定理

4.三垂线定理

5.向量法

6.转化法

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得

也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α

二面角的通常求法：

（1）由定义作出二面角的平面角；

（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；

（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；

（4）空间坐标求二面角的大小。

其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

求二面角大小的基本步骤

（1）作出二面角的平面角：

A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；

B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；

C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；

D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。

（2）证明该角为平面角；

（3）归纳到三角形求角。

另外，也可以利用空间向量求出。 二面角与平面角的关系　　二面角的大小就用它的“平面角”来度量。二面角的平面角大小数值就等于二面角的大小。

什么是二面角?

解：

1、证明：

以点d为坐标原点，分别以da、dc、ds为坐标x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系。则易得各点坐标：b(根号2,2,0），a（根号2,0,0）；设m（0，y，z）。

则：向量bm=(负根号2，y-2，z），向量ba=（0，-2，0），所以（向量bm)?(向量ba)=4-2y=根号[2+(y-2)?+z?]。又点m在直线sc上，而直线sc方程为：z=2-y。

所以联立4-2y=根号[2+(y-2)?+z?]和z=2-y，解得y=1或y=3。又因为m在线段sc上，即y≤2。所以y=1，所以z=1，所以点m坐标为（0,1,1）。

又因为点s坐标为（0,0,2），点c坐标为（0,2,0），所以易得m为sc中点。

原题得证。

2、

连结am，作bp垂直于am于点p。因为上题已证点m为sc中点，所以易得bm=2，又角abm=60°，所以三角形abm为等边三角形。所以点p为am中点且bp=根号3。

在sa上作一点q，使连线qp垂直am于p。则根据定义，角qpb即为二面角s-am-b的平面角。

连结ac、qb。因为sa=ac=根号6，且点m为sc中点，所以am垂直于sc，即三角形sma为直角三角形。又点p为am中点，所以根据相似关系，易得qp=0.5*sm=0.5*根号2，qb=0.5*根号22。所以根据余弦定理可得：cos角sma=（-根号6）/3。

其实求二面角就是靠定义，根据定义找出二面角后一般都比较好求的，难一点的还可以用向量法。建议你去百度百科查一下二面角，里面的信息很详细，希望对你有帮助。

用几何法求二面角的步骤

二面角的定义：

　 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。

二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

作二面角的平面角的常用方法有六种：

1、定义法 ：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。

2、垂面法 ：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角

3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

4、三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。

6、转化法：在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P，求出P到β的距离h和P到l的距离d，那么arcsin(h/d)（二面角为锐角）或π-arcsin(h/d)（二面角为钝角）就是二面角的大小。

向量法：利用两个平面的法向量M，N的夹角来求，这是高考中最有效的办法不管有多难都可求出二面角的大小，也是最好的办法。不过求出后要根据二面角的实际大小来判断算出的结果与实际情况下的角是否相同利用空间向量求二面角的平面角步骤（设二面角平面角为θ）

1）建立空间直角坐标系；

2）设平面

的法向量为N(X1，Y1，Z1)，平面

法向量为M(X2，Y2，Z2)；

3）在

内找两条线L1，L2，让N×L1=0，N×L2=0求出N的坐标，M也是如此求出；

4）然后利用cosθ=N?M/|N|×|M|即可求出θ的值

说明：锐二面角时，法向量的夹角即该二面角的平面角钝二面角时，法向量的夹角的补角为二面角的平面角